半经典Hartree方程的长程相互作用下的均匀位移估计

本文考虑三维空间中具有光滑但长程相互作用的Hartree方程在半经典极限下的情形。我们证明了小数据解的密度函数以最佳速率衰减。当半经典参数 $\hbar \in (0,1]$ 固定时，本结果基本由Nguyen和You [arXiv:2408.15860]的最新工作所覆盖；然而，本文的新颖之处在于对 $\hbar$ 的均匀性，即初始数据的小性条件和解的界限均独立于 $\hbar$。此外，本文的论证为长程非线性Schr"{o}dinger方程（具有Hartree类型非线性）的修正散射提供了新的证明。我们的证明依赖三个主要要素：首先，我们证明了被相位修正修正的有限时波算子的有界性。其次，我们展示了修正传递算子关于 $L^1$-$L^\infty$ 的位移估计。最后，我们给出密度算子各种形式的换算估计。通过将它们组合起来，我们可以应用常规的引导论证来获得主要结果。