理解与改进 UMAP：基于几何与拓扑先验的 JORC-UMAP 算法

非线性降维技术，特别是 UMAP，广泛用于高维数据的可视化。然而，UMAP的局部欧几里得距离假设常常无法捕捉内在流形几何，导致拓扑撕裂和结构坍塌。我们识别出 UMAP对 $k$ 近邻图的敏感性是关键原因。为此，我们引入欧拉-里 Ricci 曲率作为几何先验，通过强化几何瓶颈处的边缘并减少冗余链接来实现改进。由于曲率估计对噪声敏感，我们还采用 Jaccard 相似度作为拓扑先验，以确保邻域一致性。 resulting method, JORC-UMAP, better distinguishes true manifold structure from spurious connections. 实验在合成数据和真实数据集上表明，JORC-UMAP比标准 UMAP和其他降维方法在 SVM 准确率和三元组保持分数等指标上更有效地减少了撕裂和坍塌，同时保持计算效率。本工作为 UMAP 提供了几何感知的增强，实现更可靠的数据可视化。