对数薛定谔方程两类线性化有限差分格式的无条件及最优误差分析
数值分析
2025-09-19 v1 数值分析
摘要
本文提出两类线性化有限差分格式，用于求解对数薛定谔方程（LogSE），无需对对数项进行正则化。这两类格式分别采用一阶和二阶向后差分公式对 LogSE 进行时间离散化，同时采用二阶中心有限差分法进行空间离散化。在建立一阶格式的最优 l² 误差估计时，我们克服了对数非线性项 f(u)=u\ln|u| 带来的奇异性，并为二阶格式建立了几乎最优的 l² 误差估计。与文献中对数薛定谔方程的误差估计相比，我们的误差界不仅显著提高了收敛阶，还消除了时间步长限制。此外，在不增强精确解正则性或施加任何网格比限制的前提下，我们建立了两类所提格式在离散 H¹ 范数下的误差估计。然而，文献中现有的结果要么未能提供 H¹ 误差估计，要么需要某些网格比限制。数值结果证实了我们的误差估计，并展示了对数薛定谔方程丰富的动力学行为。
引用
@article{arxiv.2509.14736,
title = {Unconditional and optimal error analysis of two linearized finite difference schemes for the logarithmic Schr\"odinger equation},
author = {Tingchun Wang and Jingye Yan},
journal= {arXiv preprint arXiv:2509.14736},
year = {2025}
}