对数薛定谔方程局部能量正则化的误差估计

对数非线性已用于许多偏微分方程（PDEs）中以建模各类应用问题。由于对数函数的奇异性，在为具有此类非线性的 PDE 建立数学理论以及设计分析数值方法时带来了巨大困难。此处我们以对数薛定谔方程（LogSE）为原型模型。不同于文献中直接且全局正则化 LogSE 中的 $f(\rho)=\ln \rho$，我们提出一种针对 LogSE 的局部能量正则化（LER）：首先在 $\rho=0^+$ 附近用多项式近似局部正则化能量泛函中的 $F(\rho)=\rho\ln \rho -\rho$，然后通过能量变分得到能量正则化对数薛定谔方程（ERLogSE）。在小正则化参数 $0<\ep\ll1$ 意义下，建立了 ERLogSE 与 LogSE 解之间的线性收敛。此外，ERLogSE 的守恒能量以二次速度收敛到 LogSE 的守恒能量，这显著改善了文献中正则化方法的线性收敛速率。还给出了用 Lie-Trotter 分裂积分器求解 ERLogSE 的误差估计。报道了数值结果以证实我们对 LER 及 ERLogSE 时间分裂积分器的误差估计。最后我们的结果表明，LER 优于直接正则化 LogSE 中的对数非线性。