超度量图谱与层次化社区网络：谱论与应用

我们发展了超度量图谱理论，作为具有嵌套层次化社区结构随机网络的极限对象。若图谱$W:[0,1]^2\to[0,1]$满足$W(x,y)=w(d(x,y))$，其中$d$为由嵌套分区诱导的[0,1]上的超度量，$w$为正核函数，则称其为超度量图谱。所得随机图表现出嵌套的层次化社区结构，其中连接密度由顶点之间的超度量距离所支配。来自超度量图谱所抽取的确定性图的拉普拉斯算子$L_d^k$本身也是超度量拉普拉斯，其特征值与谱投影器完全以社区规模和社区间连接密度为参数具有显式闭式表达式。我们证明，当$k\to\infty$时，随机拉普拉斯$L_r^k$的归一化特征值与谱投影器与$L_d^k$的特征值与谱投影器在高概率下几乎相等，从而$L_d^k$的显式公式为$L_r^k$的谱与谱投影器提供了闭式近似。作为应用：一般化的Fiedler向量准则将Fiedler向量准则推广到具有任意数量社区的层次化网络；检测阈值$p^*=\min_i\rho_i$支配单层次超度量图谱的谱社区检测；构建的伪逆拉普拉斯$L_W^+$被证明是$L_r^k$伪逆的几乎必然极限，这表明到达时间和往返时间简化为仅依赖于端点预期度的量；以及揭示均匀社区结构与异质社区结构之间根本张力的显式闭式稳定性条件，通过数值实验得到确认。