数据聚类中加权拉普拉斯算子的谱分析
谱理论
2020-07-14 v2 偏微分方程分析
机器学习
摘要
由加权邻接矩阵计算的图拉普拉斯算子被广泛用于识别数据中的几何结构，尤其是聚类；其谱性质在众多无监督和半监督学习算法中起着核心作用。经适当缩放后，图拉普拉斯算子在大数据极限下逼近连续的极限算子。因此，研究这些极限算子有助于理解学习算法。本文致力于研究一类参数化散度型椭圆算子，它们作为图拉普拉斯算子的大数据极限而出现。文中阐明了三参数图拉普拉斯算子族与三参数微分算子族之间的联系。在数据由两组近乎分离的聚类组成（其含义被精确给出）的情形下，分析了这些微分算子的谱性质。特别地，我们研究了谱隙如何依赖于进入图拉普拉斯算子的三个参数，以及度量偏离完美聚类情形大小的参数。给出了例证并拓展该分析的数值结果：计算研究了存在两组近乎分离聚类但违背我们理论所用假设的情形；存在多于两组聚类、同样超出我们理论的情形；以及展示我们对微分算子的研究通过图拉普拉斯算子理解有限数据问题相关性的情形。这些发现为基于加权邻接矩阵的学习算法中的参数选择提供了见解；它们也为在大数据极限下分析各类无监督和半监督学习算法的一致性提供了基础。
引用
@article{arxiv.1909.06389,
title = {Spectral Analysis Of Weighted Laplacians Arising In Data Clustering},
author = {Franca Hoffmann and Bamdad Hosseini and Assad A. Oberai and Andrew M. Stuart},
journal= {arXiv preprint arXiv:1909.06389},
year = {2020}
}