图拉普拉斯算子的保距模型降阶与聚类分析

图拉普拉斯算子及其谱嵌入在机器学习多个领域中起着重要作用。本文聚焦于以数据谱聚类为主要应用的图拉普拉斯算子降维。谱嵌入提供了数据流形的低维参数化，使后续任务（如聚类）更为容易。然而，尽管降低了数据维度，由于两个因素，整体计算代价对于大型数据集仍可能过高。首先，计算图拉普拉斯算子的部分特征分解通常需要很大的Krylov子空间。其次，谱嵌入完成后，仍须处理相同数量的数据点。例如，嵌入数据的聚类通常通过各种k-means松弛来执行，其计算代价随数据集大小增长而表现糟糕。在本工作中，我们将焦点从整个数据集转向图顶点子集（目标子集）。我们开发了两种此类原始图的低维表示新算法，其保持目标子集中节点间重要的全局距离。特别地，其可确保若对完整数据集执行谱聚类，目标子集聚类与之保持一致。这是通过适当参数化的图拉普拉斯算子降阶模型（ROM）实现的，该模型在输入和输出限于目标子集时精确近似原始图的扩散传递函数。处理小型目标子集极大减少了所需Krylov子空间维度，并允许在常规算法（如k-means近似）最稳健高效的机制下加以利用。