奇异流形上的图拉普拉斯算子：迈向理解复杂空间：具有奇点和边界的流形上的图拉普拉斯算子
人工智能
2012-11-29 v1 计算几何
机器学习
摘要
近期，流形学习中的大部分现有工作均基于以下假设：数据采样自无边界和奇点的流形，或者感兴趣的函数在远离此类点处进行评估。同时，可以认为奇点和边界是现实数据几何结构的重要方面。在本文中，我们考虑了图拉普拉斯算子在边界处或边界附近以及两类主要其他奇点处的行为：不同流形汇聚的交点，以及流形方向急剧变化的尖锐“边缘”。我们表明，图拉普拉斯算子在这些奇点附近的行为与流形内部的行为截然不同。事实上，在图拉普拉斯算子在此类点附近的行为中，可以观察到一种类似于傅里叶级数分析中 Gibbs 效应的现象。与在区域内部图拉普拉斯算子收敛于 Laplace-Beltrami 算子不同，在奇点附近，图拉普拉斯算子趋向于一阶微分算子，其作为核宽度函数表现出不同的缩放行为。一个重要推论是，虽然靠近奇点的点仅占总体积的一小部分，但缩放行为的差异导致其对总体行为产生不成比例的巨大贡献。另一个重要发现是，虽然算子的缩放行为在不同类型的奇点附近是相同的，但在更精细的分析层面上它们却截然不同。我们相信，除了光滑流形的标准情况外，全面理解这些结构将极大地推动复杂非线性数据分析方法的改进，并可能导致算法设计的显著进步。
引用
@article{arxiv.1211.6727,
title = {Graph Laplacians on Singular Manifolds: Toward understanding complex spaces: graph Laplacians on manifolds with singularities and boundaries},
author = {Mikhail Belkin and Qichao Que and Yusu Wang and Xueyuan Zhou},
journal= {arXiv preprint arXiv:1211.6727},
year = {2012}
}