带边界流形上图 Laplacian 的行为

在流形学习中，基于数据构造的图 Laplacian 算法在实际应用和理论分析中都受到了相当多的关注。特别是，从采样数据获得的图 Laplacian 向某些连续算子的收敛性已成为近期一个活跃的研究课题。现有的大部分工作都是在假设数据采样自无边界的流形，或者所关注的函数在远离边界的点处求值的前提下完成的。然而，边界行为问题具有相当大的实际和理论意义。本文对图 Laplacian 在边界附近或边界上的点的行为进行了分析，讨论了它们的收敛速率及其影响，并提供了一些数值结果。结果表明，尽管边界附近的点只占流形总体积的一小部分，但图 Laplacian 在那里的行为具有与流形其他地方不同的标度性质，并对整个流形产生全局影响，这一观察结果对流形上的一般学习问题可能具有重要的启示。