超滤子、横截与帽子游戏

Geschke、Lubarsky 与 Rahn 在《选择与帽子游戏》中将有经典的帽子游戏谜题推广至无穷多玩家，并问：在不具有选择公理且能执行最优解的每个集合论模型中，是否都包含 $\mathbb N$ 上的非主超滤子或 Vitali 集。本文通过构造一个模型给出了否定回答，该模型中帽子游戏谜题存在最优解，但既无 $\mathbb N$ 上的非主超滤子也无 Vitali 集。这一结果在一个更一般的背景下达成：证明了对于任意不嵌入某个 $K_{n,\omega_1}$ 且具可数着色数的 Borel 二部图 $\Gamma$，存在一个 $\mbox{ZF} + \mbox{DC}$ 模型，其中 $\Gamma$ 有 $2$-着色但不存在上述超滤子或 Vitali 集。同样的结论适用于将帽子游戏自然推广到任意有限种帽子颜色的情形。