自旋玻璃中的典型重叠分布与平均重叠分布：液滴标度理论的证据

我们考虑了重叠分布 $P_{\cal J}(q)$ 在无序样本上的统计性质，该分布在自旋玻璃中起着序参量的作用。我们表明，在接近零温时：(i) {\it 典型} 重叠分布在 $-1<q<1$ 的中心区域呈指数小：$P^{typ}(q) = e^{\bar{\ln P_{\cal J}(q)}} \sim e^{- \beta N^{\theta} \phi(q)}$，其中 $\theta$ 是此处相对于总自旋数 $N$ 定义的液滴指数（以便也考虑长度概念不存在的全连接模型）；(ii) 重标度变量 $v = - (\ln P_{\cal J}(q))/N^{\theta}$ 仍然是一个描述样本间涨落的 O(1) 随机正变量；(iii) 平均分布 $\bar{P_{\cal J}(q)}$ 是非典型的，并由罕见的异常样本主导。类似的陈述也适用于累积重叠分布 $I_{\cal J}(q_0) \equiv \int_{0}^{q_0} dq P_{\cal J}(q)$。这些结果是针对 $\theta=1/3$、$\phi(q)=1-q^2$ 的球平均场模型明确推导出的，其中随机变量 $v$ 对应于 GOE 随机矩阵两个最大本征值之间的重标度差。随后，我们在数值上比较了长程一维 Ising 自旋玻璃（具有随距离衰减为 $J(r) \propto r^{-\sigma}$ 的随机耦合）的典型和平均重叠分布，针对各种指数 $\sigma$ 值（对应于各种液滴指数 $\theta(\sigma)$），以及平均场 SK 模型（形式上对应于前述模型的 $\sigma=0$ 极限）。我们的结论是，未来关于自旋玻璃的研究应测量重叠分布或累积重叠分布的 {\it 典型} 值，以便对自旋玻璃相的性质获得更清晰的结论。