正压缩子的典型性质与不变子空间问题

在本文中，我们首先研究了强算子拓扑和强*算子拓扑下 $\ell_q$ 上典型正压缩子的一些基本性质。利用这些性质，我们证明了强算子拓扑下 $\ell_1$ 上（相应地，强算子拓扑和强*算子拓扑下 $\ell_2$ 上）的典型正压缩子具有非平凡的不变子空间。然后我们关注 $X$ 为具有基的Banach空间的情形。我们证明了具有无条件基的Banach空间上的典型正压缩子在强算子拓扑和强*算子拓扑下没有非平凡的闭不变理想。特别地，这表明当 $X = \ell_q$ 且 $1 \leq q < \infty$ 时，强算子拓扑下（当 $1 < q < \infty$ 时为强*算子拓扑下）$X$ 上的典型正压缩子 $T$ 不满足Abramovich、Aliprantis和Burkinshaw准则，即在 $T$ 的换位中不存在非零正算子，该算子在 $X$ 的某个非零正向量处是拟幂零的。最后，我们证明了，对于强*算子拓扑，具有单调基的自反Banach空间上的典型正压缩子不满足Abramovich、Aliprantis和Burkinshaw准则。