非交换Poisson代数中元素的类型与Dixmier猜想

非交换Poisson代数是同时具有结合代数结构和Lie代数结构并满足Leibniz法则的代数。设 $P$ 为特征零的代数闭域上的非交换Poisson代数。对任意 $z\in P$，存在与 $P$ 上的内导子 $ad_z$ 相关的四个子代数。基于这四个子代数之间的关系，$P$ 中的元素可被分为八种类型。我们主要关注两类非交换Poisson代数：通常的Poisson代数以及以交换子为Poisson括号的结合代数。以下问题被研究：非交换Poisson代数之间的同态下元素类型如何变化、局部化后元素类型如何变化，以及在非交换Poisson代数 $P_1\otimes P_2$ 的张量积中形如 $z_1 \otimes z_2$ 和 $z_1 \otimes 1 + 1 \otimes z_2$ 的元素的类型如何。作为上述结果的应用，已知Dixmier猜想在某些条件下对 $A_1$ 成立。还获得了Weyl代数的一些性质，例如某些子代数的交换性。