Comtet 的两个练习与 Ruehr 的两个恒等式

Kimura 提出并由 Ruehr、Kimura 等人于 1980 年证明的一个问题指出，对于定义在区间 $[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ 上的任意连续函数 $f$，有 $$\int_{-1/2}^{3/2} f(3x^2 - 2x^3) dx = 2 \int_0^1 f(3x^2 - 2x^3) dx.$$ 在其证明中，Ruehr 在未给出显式证明的情况下指出，将该恒等式应用于 $f(t) = t^n$ 可推出两个涉及二项求和的恒等式，即（修正一处印刷错误后） $$\sum_{0 \leq j \leq n} 3^j {3n-j \choose 2n} = \sum_{0 \leq j \leq 2n} (-3)^j {3n-j \choose n} \ \ \mbox{and} \ \ \sum_{0 \leq j \leq n} 2^j {3n+1 \choose n-j} = \sum_{0 \leq j \leq 2n} (-4)^j {3n+1 \choose n+1+j}.$$ 利用 Comtet 著作中的两个恒等式，我们给出了从上述积分等式推导这些恒等式的一种简便显式方法。我们的推导显示了其与不完全 beta 函数、二项分布律、负二项分布律，以及用于证明 $(3x+1)$-猜想一种极弱形式的引理之间的联系。