关于 Coulter-Matthews 弯曲函数的对偶函数

对于任意弯曲函数，确定其对偶函数是非常有趣的，因为对偶函数在某些情况下也是弯曲的。对于 $k$ 为奇数且 $\gcd(n, k)=1$，已知 Coulter-Matthews 弯曲函数 $f(x)=Tr(ax^{\frac{3^k+1}{2}})$ 在 $\mathbb{F}_{3^n}$ 上是弱正则弯曲的，其中 $a\in\mathbb{F}_{3^n}^{*}$，且 $Tr(\cdot):\mathbb{F}_{3^n}\rightarrow\mathbb{F}_3$ 是迹函数。本文研究了 $f(x)$ 的对偶函数，并挖掘出一个通用公式。特别地，对于两种情况，我们显式地确定了该公式：对于 $n=3t+1$ 且 $k=2t+1$（$t\geq 2$）的情况，对偶函数由 $$Tr\left(-\frac{x^{3^{2t+1}+3^{t+1}+2}}{a^{3^{2t+1}+3^{t+1}+1}}-\frac{x^{3^{2t}+1}}{a^{-3^{2t}+3^{t}+1}}+\frac{x^{2}}{a^{-3^{2t+1}+3^{t+1}+1}}\right)$$ 给出；对于 $n=3t+2$ 且 $k=2t+1$（$t\geq 2$）的情况，对偶函数由 $$Tr\left(-\frac{x^{3^{2t+2}+1}}{a^{3^{2t+2}-3^{t+1}+3}}-\frac{x^{2\cdot3^{2t+1}+3^{t+1}+1}}{a^{3^{2t+2}+3^{t+1}+1}}+\frac{x^2}{a^{-3^{2t+2}+3^{t+1}+3}}\right)$$ 给出。作为副产品，我们发现了两类仅含三项的三元弯曲函数。此外，我们还证明了在某些情况下 $f(x)$ 是正则弯曲的。