非线性弹性中的扭曲与剪切映射：显式解与消失雅可比行列式

在本文中，我们研究主要由非线性弹性理论驱动的约束变分问题。我们特别考察了雅可比行列式 $\det \nabla u$ 的正性与能量极小元 $u$（其为扭曲映射或剪切映射）的唯一性和正则性之间的关系。我们给出了定义于二维环域上的显式扭曲映射，它们是适当能量泛函的驻点，并且其雅可比行列式在环域中正测度集上消失。在剪切映射类中，我们在一个模型化的二维情形下精确刻画了唯一的全局能量极小元 $u_{\sigma}: \Omega\to \mathbb{R}^2$。该剪切映射极小元具有如下性质：(i) $\det \nabla u_{\sigma}$ 在定义域 $\Omega$ 的一部分上严格为正，(ii) $\det \nabla u_{\sigma} = 0$ 必然在 $\Omega$ 的其余部分成立，且 (iii) 性质 (i) 和 (ii) 共同确保了 $\nabla u_{\sigma}$ 在整个定义域上不连续。