扭量、反自对偶 Yang-Mills 方程与 4 维 Chern-Simons理论

我们表明，通过 4 维 Chern-Simons 理论处理可积系统的方法与通过反自对偶 Yang-Mills 方程的对称约化方法密切相关，至少经典上是如此。遵循 Kevin Costello 的建议，我们从扭量空间上的全纯 Chern-Simons 理论出发，借助亚纯 (3,0)-形式 $\Omega$ 定义。若 $\Omega$ 处处非零，则它降维为 4 维时空上的理论，其经典运动方程等价于反自对偶 Yang-Mills 方程。例子包括 Wess-Zumino-Witten 模型的 4 维类比，以及一个取值于李代数的标量场带有三次两导数相互作用的理论。在对称约化下，这些给出 2 维可积系统的作用量。另一方面，直接在扭量空间上执行对称约化将全纯 Chern-Simons 理论约化为 Costello 与 Yamazaki 所研究的带无序缺陷的 4 维 Chern-Simons 理论。最后我们表明，通过单次平移的类似约化可导出描述 Bogomolny 方程的 5 维部分全纯 Chern-Simons 理论。