Coleman 族的 triple product

我们将模形式讨论为计算机代数的对象以及某些 p 进 Banach 模的元素。讨论了数论中基于生成函数及其与模形式联系的问题求解方法。特别地,模形式各类 L 函数的临界值给出了算术问题中平凡但可计算的解。即对素数 $p\ge 5$,考虑三个经典尖点本征形式 $$f_j(z)=\sum_{n=1}^\infty a_{n,j}e(nz)\in \Sr_{k_j}(N_j, \psi_j),\ (j=1, 2,3)$$,其权为 k_1, k_2, k_3,导子为 N_1, N_2, N_3,邻型特征为 $\psi_j \bmod N_j$。根据 H.Hida \cite{Hi86} 与 R.Coleman \cite{CoPB},可将每个 $f_j$ $(j=1, 2, 3)$(在关于 $p$ 与 $f_j$ 的适当假设下)纳入一个 $p$ 进解析族 $$k_j{}\mapsto \{f_{j,k_j{}}= \sum_{n=1}^\infty a_{n}(f_{j, k_j{}})q^n\}$$ 的权为 $k_j{}$ 的尖点本征形式 $f_{j,k_j{}}$ 中,使得 $f_{j,k_j}=f_j$,且所有 Fourier 系数 $a_n(f_{j, k_j{}})$ 由某些 $p$ 进解析函数 $k_j{}\mapsto a_{n, j}(k_j{})$ 给出。本文旨在描述附于 Garrett 的三个 Coleman 族 $$k_j{}\mapsto \left \{f_{j,k_j{}}= \sum_{n=1}^\infty a_{n,j}(k{}) q^n\right \}$$ 的尖点本征形式的 triple product 的四变量 p 进 L 函数,其中三固定斜率 $\sigma_j=v_p(\alpha_{p, j}^{(1)}(k_j{}))\ge 0$,而 $\alpha_{p,j}^{(1)} = \al_{p,j}^{(1)}(k_j{})$ 是 Atkin 算子 $U=U_p$ 作用于 Fourier 展开 $U(\sum_{n\ge 0}^\infty a_{n}q^n) = \sum_{n \ge 0}^\infty a_{np} q^n$ 的特征值(依赖于 $k_j{}$)。