三重积 $p$-进 $L$-函数的特殊值与非晶态对角类

本注记的主要目的是理解与模形式三元组 $(f,g,h)$(权重为 $(2,1,1)$)相关的 $p$-进 $L$-函数 $\mathcal{L}_p^g(\mathbf{f},\mathbf{g},\mathbf{h})$ 的特殊值中所编码的算术,在经典 $L$-函数 $L(f\otimes g\otimes h,s)$(其符号通常为 $+1$)在其中心临界点 $s=1$ 处不为零的情形下。当 $f$ 对应于椭圆曲线 $E/\mathbb{Q}$ 且经典 $L$-函数为零时,Darmon-Lauder-Rotger 的椭圆 Stark 猜想预测 $\mathcal{L}_p^g(\mathbf{f},\mathbf{g},\mathbf{h})(2,1,1)$ 要么为 $0$(当复 $L$-函数的零阶 $>2$ 时),要么与 $E$ 上整体点的对数以及某个与 $g$ 相关的 Gross--Stark 单位相联系。我们通过给出在 $L(f\otimes g\otimes h,1)\neq 0$ 情形下 $\mathcal{L}_p^g(\mathbf{f},\mathbf{g},\mathbf{h})(2,1,1)$ 值的公式,补全了椭圆 Stark 猜想所提出的图景。