(稀疏) 竞赛图中的三角形打包：近似与核化

给定一个竞赛图$T$和一个正整数$k$，C_3-Pakcing-T 问题询问$T$中是否存在至少$k$个（顶点）不相交的有向 3-圈。这是竞赛图中经典最小反馈顶点集问题的对偶问题。令人惊讶的是，C_3-Pakcing-T 在文献中未受到太多关注。我们表明，除非 P=NP，否则即使将实例限制为稀疏竞赛图（即反馈弧集 (FAS) 为匹配的竞赛图），该问题也不存在 PTAS。针对稀疏竞赛图，我们为所有后向弧“长度”至少为$c$的具有线性表示的稀疏竞赛图提供了一种$(1+6/(c-1))$近似算法。关于核化，我们证明 C_3-Pakcing-T 拥有一个具有$O(m)$个顶点的核，其中$m$是给定反馈弧集的大小。特别是，当限制在稀疏实例时，我们导出了 C_3-Pakcing-T 的$O(k)$个顶点核。在负面结果方面，我们表明除非 NP 是 coNP / Poly 的子集，否则 C_3-Pakcing-T 不存在（总比特）大小为$O(k^{2-\epsilon})$的核。C_3-Pakcing-T 是否存在$O(k)$个顶点的核仍是一个开放问题。