针对（隐式）命中集问题的有损核化

我们重新考察了 $d$-命中集问题核化的复杂性。这是参数化复杂性中的一个经典问题，它包含了该领域中其他几个被最广泛研究的问题，例如顶点覆盖、锦标赛中的反馈顶点集（FVST）和簇顶点删除（CVD）。事实上，$d$-命中集涵盖了任何可通过有限个禁用诱导子图刻画的可遗传性质的删除问题。就比特大小而言，$d$-命中集的核化复杂性已基本确定：存在一个具有 $O(k^d)$ 比特（$O(k^d)$ 个集合和 $O(k^{d-1})$ 个元素）的核，且由 Dell 和 van Melkebeek [STOC 2010, JACM 2014] 的结果可知这是紧的。然而，是否存在元素更少的 $d$-命中集核，一直是核化领域最重要的开放问题之一。在本文中，我们首先表明，如果我们允许核化是有损的，且其损失在质量上优于多项式时间近似算法的最佳可能近似比，那么对于每个固定的 $d$，都可以获得元素数量为线性的核。进一步地，基于此，我们给出了主要结果：我们证明了存在 $d$-命中集的近似图灵核化，其甚至突破了已确立的精确核化比特大小下界——事实上，我们使用了常数次预言机调用，每次具有“近线性”（$O(k^{1+\epsilon})$）的比特大小，也就是说，几乎是人们所能期望的最佳情况。最后，对于隐式 3-命中集的两个特例，即 FVST 和 CVD，我们获得了“两全其美”型的结果——具有线性顶点数的 $(1+\epsilon)$-近似核化。在大小方面，这以更简单的论证显著改进了 Fomin 等人 [SODA 2018, TALG 2019] 的精确核。