动机与实 bordism 中的跨色延拓

我们展示了动机 bordism 谱 $MGL$ 与实 bordism 谱 $MU_{\mathbb R}$ 的同伦中的若干 Toda 括号。这些括号是“红移”的，其意义在于：尽管括号中的项具有某个色高 $n$，括号本身却具有色高 $(n+1)$。利用这些，我们推导出动机 Morava $K$-理论在 $\pi_{(\ast,\ast)}MGL$-模结构中的一组外来的乘法，包括由 $2$ 给出的非平凡乘法。这些进而蕴含实 Morava $K$-理论在 $\pi_{\star}MU_\mathbb R$-模结构中的类似外来乘法族。