Mills 常数的若干变体的超几何性

设 $\lfloor x\rfloor$ 表示 $x$ 的整数部分。对于每一个正整数序列 $(C_k)_{k\ge 1}$，我们定义 $\xi(C_k)$ 为最小实数 $\xi>1$，使得 $\lfloor \xi^{C_k} \rfloor$ 对每个正整数 $k$ 都是素数。$\xi(3^k)$ 称为 Mills 常数。最近，作者证明了 $\xi(3^k)$ 为无理数；但其超几何性尚未解决。本文在黎曼zeta函数的密度假设下，证明了 Mills 常数是超几何的。此外，我们得到四类序列 $(C_k)_{k\ge 1}$ 的 $\xi(C_k)$ 的算术性质。为简便起见，我们给出每类中的四个典型例子：(A) $\xi(\lfloor b^k\rfloor)$ 对每个 $b\ge 1+\sqrt{2}$ 的实数都是无理数；(B) $\xi((1+\sqrt{2})^k+(1-\sqrt{2})^k)$ 为超几何数；(C) $\xi(r3^k-1)$ 对每个 $r\ge 4.003\times 10^{14}$ 的整数都是超几何数；(D) $\xi(3^{k-\lfloor (\log k)^{1/2} \rfloor}2^{\lfloor (\log k)^{1/2}\rfloor})$ 为超几何数。