von Koch 雪花上的迹算子

我们研究 Sobolev 空间 $W^1_1(\Omega)$ 上边界迹算子的性质。利用 Koskela 和 Zhang 的稠密性结果，我们定义了一个满射算子 \mbox{$Tr: W^1_1(\Omega_K)\rightarrow X(\Omega_K)$}，其中 $\Omega_K$ 是 von Koch 雪花，$X(\Omega_K)$ 是具有商范数的迹空间。由于 $\Omega_K$ 是一个边界关于严格大于 1 的指数满足 Ahlfors 正则性的一致域，L. Mal\'y 已证明存在 $Tr$ 的右逆，即线性算子 $S: X(\Omega_K) \rightarrow W^1_1(\Omega_K)$ 使得 $Tr \circ S= Id_{X(\Omega_K)}$。在本文中，我们基于 von Koch 雪花的几何结构提供了一种不同的、纯组合的证明。此外，我们将迹空间的同构类识别为 $\ell_1$。作为我们方法的附加推论，我们得到了关于具有正则边界的域 $\Omega$ 不存在右逆的 Peetre 定理的一个简单证明，这解释了该现象的 Banach 空间几何成因。