无限维正则曲面上 Sobolev 函数的迹

在赋予非退化高斯测度的 Banach 空间 $X$ 中，我们考虑定义在 Sobolev 非退化函数 $G:X\mapsto \R$ 的下水平集 $O= \{x\in X:\;G(x) <0\}$ 上的实值函数的 Sobolev 空间。我们将 $W^{1,p}(O, \mu)$ ($p>1$) 中元素在 $G^{-1}(0)$ 处的迹定义为 $L^1(G^{-1}(0), \rho)$ 中的元素，其中 $\rho$ 是 Feyel 和 de La Pradelle 的曲面测度。迹算子的值域包含在 $L^q(G^{-1}(0), \rho)$ ($1\leq q<p$) 中，甚至在进一步假设下包含在 $L^p(G^{-1}(0), \rho)$ 中。如果 $O$ 是一个合适的半空间，则其值域被表征为边界处的一种分数阶 Sobolev 空间。该一般理论的一个重要推论是适用于 Sobolev 函数的分部积分公式，该公式涉及它们在 $G^{-1}(0)$ 处的迹。