通过粘合巡游的凸组合在基本图上改进 Christofides 算法

我们提出一种在特定的紧 3-边割上粘合巡游的新方法。在 3-边割上的粘合已用于特殊图类中寻找哈密顿圈以及证明 2-边连通子图问题的界，但在粘合连通多重图这一方向上所知甚少。我们将此方法应用于旅行商问题（TSP），当子巡游消除松弛的目标函数由 $\theta$-循环点最小化时：$x_e \in \{0,\theta, 1-\theta, 1\}$，其中支撑图是次立方的且每个顶点至少关联一条 $x$ 值为 1 的边。这样的点足以解决一般 TSP。对这些点，我们构造了巡游的凸组合，其中可将 $x$ 值为 1 的边的使用量从 Christofides 算法的 $\frac{3}{2}$ 降至 $\frac{3}{2}-\frac{\theta}{10}$，同时保持分数为 $x$ 值的边的使用量与 Christofides 算法相同。该结果的直接推论针对 TSP 的一致覆盖问题：当子巡游消除松弛的目标函数由 $\frac{2}{3}$-一致点最小化时：$x_e \in \{0, \frac{2}{3}\}$，我们给出 TSP 的 $\frac{17}{12}$-近似算法。对这些点，这使我们得到介于 Christofides 算法的 $\frac{3}{2}$ 近似比与著名的“四分之三猜想”所隐含的 $\frac{4}{3}$ 近似比之间的中点。