更短的环游与更长的绕道：均匀覆盖及其延伸

受旅行商问题 (TSP) 著名的四分之三猜想启发，我们研究了均匀覆盖问题。如果处处为 $\alpha$ 的向量（即 $\{\alpha\}^{E}$）支配了环游（分别为 2-边连通生成多重图）关联向量的凸组合，则图 $G=(V,E)$ 拥有针对 TSP（分别为 2EC）的 $\alpha$-均匀覆盖。Christofides 算法的多面体分析直接表明，3-边连通立方图拥有针对 TSP 的 1-均匀覆盖。Seb\H{o} 曾询问此类图是否对某个 $\epsilon > 0$ 拥有 $(1-\epsilon)$-均匀覆盖。事实上，四分之三猜想意味着此类图拥有 8/9-均匀覆盖。我们证明了这些图拥有 18/19-均匀覆盖。我们还研究了针对 2EC 的均匀覆盖，并表明处处为 15/17 的向量可以有效地写为 2-边连通生成多重图的凸组合。对于加权、3-边连通的立方图，我们的结果表明，如果处处为 2/3 的向量是子环游线性规划松弛的最优解，则可以高效地找到权重至多为最优环游 27/19 倍的环游。节点加权、3-边连通的立方图属于此类。在这种特殊情况下，我们可以应用我们的工具获得更好的近似保证。为了将我们的方法扩展到 2-边连通的输入图，我们提出了一种过程，将 TSP 子环游松弛的最优解分解为生成连通多重图，且每个 2-边割被覆盖偶数次。利用这种分解，我们在次立方、节点加权图上获得了针对最小权重 2-边连通生成子图的 17/12-近似算法。