Vu 猜想的进展

1972 年，Vu 猜想认为，最大度为 $\Delta$ 且最大 codegree 至多 $\zeta \Delta$ 的图，其染色数至多为 $(\zeta+o(1))\Delta$。尽管该猜想重要，但至今仍广为开放。迄今为止唯一的直接进展是在“稠密范数”下取得的，即 $\zeta$ 接近 1 时，由 Hurley、de Verclos 和 Kang 完成。本文提供了稀疏范数 $\zeta \ll 1$ 的第一个进展，即 Vu 所关注的主要情形。我们证明存在 $\zeta_0 > 0$，使得对所有 $\zeta \in [\log^{-32}\Delta,\zeta_0]$，都有如下结果：若 $G$ 为最大度为 $\Delta$ 且最大 codegree 至多 $\zeta \Delta$ 的图，则 $\chi(G) \leq (\zeta^{1/32} + o(1))\Delta$。我们从更一般的结果推导，该结果仅假设任意 $s$ 个顶点的公共邻域受限，而非成对顶点的 codegree。我们更一般的结果还扩展到列表着色设置，这本身也是独有兴趣。