自由词的组合极限理论初探

自由词是自由幺半群的元素，通过连接这一二元运算在字母表上生成。通俗地说，自由词就是有限的字母串。此后，我们简称其为词。受图组合极限理论近期进展的启发——特别是涉及旗代数、图同态和图子（graphons）的那些工作——我们研究了词中模式包含与规避的极值理论和渐近理论。词 V 是词 W 的一个因子，如果 V 作为连续的字母出现在 W 中。W 是 V 的一个实例，如果存在一个非擦除的幺半群同态 {\phi} 使得 {\phi}(V) = W。例如，使用由 {\phi}(P) = Ror, {\phi}(h) = a, {\phi}(D) = baugh 定义的同态 {\phi}，我们看到 Rorabaugh 是 PhD 的一个实例。如果 W 中没有因子是 V 的实例，则称 W 规避 V。如果在一个有限字母表上，规避 V 的词只有有限多个，则称 V 是不可规避的。不可规避词由 Bean, Ehrenfeucht 和 McNulty (1979) 以及 Zimin (1982) 进行了分类。我们简要讨论以下拉姆齐理论问题：对于不可规避词 V 和一个固定的字母表，规避 V 的词最长可以是多少？V 在 W 中的密度是 W 中作为 V 的实例的非空子串的比例。由于 Rorabaugh 中有 45 个子串，其中 28 个是 PhD 的实例，因此 PhD 在 Rorabaugh 中的密度为 28/45。我们建立了关于词密度的一系列渐近结果，包括一个词在任意长的随机词中的期望密度，以及一个不可规避词在任意长词中的最小密度。这是与 Joshua Cooper 的合作工作。