$R^3$ 中图的总曲率与同痕

纽结理论研究的是圆 $S^1$ 嵌入到三维流形（特别是 $R^3$）中的同痕类。Fáry-Milnor 定理指出，$R^3$ 中任何总曲率小于 $4\pi$ 的曲线都是未打结的。更一般地，一个（有限）图由有限数量的边和顶点组成。给定图的拓扑类型 $\Gamma$，总曲率的界限对 $\Gamma$ 的同痕类意味着什么限制？对于图而言，“总曲率”意味着什么？我们定义了 $R^3$ 中图 $\Gamma$ 的净总曲率的自然概念，并证明如果 $\Gamma$ 同胚于 $\theta$-图，则 $\Gamma$ 的净总曲率 $\geq 3\pi$；如果它 $< 4\pi$，则 $\Gamma$ 在 $R^3$ 中同痕于一个平面 $\theta$-图。此外，仅当 $\Gamma$ 是一条凸平面曲线加上一条弦时，净总曲率才等于 $3\pi$。我们从分段光滑图开始讨论，并在最后一节将所有这些结果推广到连续图。特别地，我们证明了有限总曲率的连续图同痕于多边形图。