循环图幂和特定图的笛卡尔积的总 2-割复合体

对于正整数 $k$，图 $G$ 的\emph{总 $k$-割复合体}记作 $\Delta_k^t(G)$，其 facet 为 $\sigma \subseteq V(G)$，满足 $|\sigma| = |V(G)|-k$ 且诱导子图 $G[V(G) \setminus \sigma]$ 不包含任何边。Bayer 等人在 \cite{Bayer2024TotalCutcomplex} 中提出了这些复合体，并探讨了其在交换代数中的应用。该论文中，他们研究了这些复合体的同伦类型，包括循环图 $C_n$、平方循环图 $C_n^2$ 以及完全图与路径图的笛卡尔积 $K_m \square P_2$ 和 $K_2 \square P_n$。本文延续了 Bayer 等人的工作，针对这些图的族类进行扩展。我们关注复合体 $\Delta_2^t(G)$，并确定这些复合体的同伦类型适用于三类图：(i) 循环图 $C_n^p$ 的 $p$ 次方 (ii) $K_m \square P_n$ 和 (iii) $K_m \square C_n$。我们使用离散 Morse 理论表明，这些复合体与球的 wedge 同伦等价。我们还给出这些同伦类型中出现的球的数目和维数。我们关于循环图 $C_n^p$ 的结果证明了沈等人关于复合体 $\Delta_2^t(C_n^p)$ 同伦类型的猜想。