通过配边研究环面 2-群反常

当 0-形式对称 $G^{[0]}$ 与 1-形式对称 $H^{[1]}$ 相互交织形成广义类群结构时，物理中会出现 2-群对称。专门考虑 $G^{[0]}$ 和 $H^{[1]}$ 均为紧致、连通、阿贝尔群（即环面）的情形，我们利用配边分类来分析此类“环面 2-群对称”中的反常。作为热身例子，我们使用配边来研究定义于非自旋流形上的麦克斯韦理论中的各种 't Hooft 反常（及其对偶的相）。作为主要例子，我们计算了 $B|\mathbb{G}|$ 的第 5 自旋配边群，其中 $\mathbb{G}$ 是任一 0-形式与 1-形式对称部分均为 $\mathrm{U}(1)$ 的 2-群，且 $|\mathbb{G}|$ 是 2-群 $\mathbb{G}$ 的神经的几何实现。通过利用多种代数方法，我们证明 $\Omega^{\mathrm{Spin}}_5(B|\mathbb{G}|) \cong \mathbb{Z}/m$，其中 $m$ 是 $\mathbb{G}$ 的 Postnikov 类的模，并且我们重现了 4 维 QED 中出现的 2-群对称反常的预期的物理结果。降维两个维度，我们重述了 2 维中任意（反常的）$\mathrm{U}(1)$ 整体对称都可以提升为环面 2-群对称，然后表明当理论以自旋结构定义时，其关联局域反常至多降为 2 阶反常。