热带模空间 $M_{2,n}$ 的拓扑

我们研究了当 g=2 时曲线的热带模空间的链接 $M^{\mathrm{trop}}_{g,n}[1]$ 的拓扑。正如 Abramovich-Caporaso-Payne 所证明的，热带模空间可以与 $\mathcal{M}_{g,n}$ 的边界复形等同，因此其约化有理同调编码了复模空间 $\mathcal{M}_{g,n}$ 的顶权有理上同调。我们证明了 $M^{\mathrm{trop}}_{2,n}[1]$ 是一个 $n$-连通拓扑空间，其约化整同调仅支撑在最高两个度上。我们计算了所有 n 对应的 $M^{\mathrm{trop}}_{g,n}[1]$ 的约化欧拉示性数，并计算了当 $n \le 8$ 时 $M^{\mathrm{trop}}_{2,n}[1]$ 的有理同调，从而完全确定了该范围内 $\mathcal{M}_{2,n}$ 的顶权 $\mathbb{Q}$-上同调。