有理直纹曲面辛同胚群的同伦类型与拓扑

设 $M$ 为 $S^2\times S^2$ 或 $\cp$ 的一点爆破 \cp# \bcp。在这两种情形中，$M$ 都带有一族辛形式 $\om_\la$，其中 $\la > -1$ 决定了上同调类 $[\om_\la]$。本文计算了 $(M,\om_\la)$ 的辛同胚群 $G_\la$ 的有理（上）同调，以及其分类空间 $BG_\la$ 的有理同伦型。结果表明，每个群 $G_\la$ 都包含有限多个有限维李子群 $K_k, k = 0,...,\ell = \ell(\la)$，它们生成其同伦。我们证明这些子群“渐近交换”，即当 $\la\to \infty$ 时它们生成的所有高阶 Whitehead 积都消失。然而，对每一个固定的 $\la$，存在一个本质唯一的非零积，它在 $H^*(G_\la)$ 中给出一个“跳跃生成元” $w_\la$，并在有理上同调环 $H^*(BG_\la)$ 中给出一个单一关系。Kronheimer 在利用 Seiberg--Witten 理论研究 4-流形上辛形式族时也看到了该生成元 $w_\la$ 的类似物。我们的方法涉及对 $M$ 上 $\om_\la$-相容的殆复结构空间的细致研究。