Bonded Knots and Braids 的拓扑与代数

本文详细研究了\emph{bonded knots} 及其相关结构，将近期发展统一纳入单一框架。Bonded knots 是具有嵌入式键合弧的经典结，用来模拟物理或化学键。我们根据键合类型将 bonded knots 分为三类（长型、标准型和紧致型），根据允许的同位变换方式将其分为两类（拓扑顶点和刚性顶点），并为每一类别定义不变量。随后，我们发展了\emph{bonded braids} 的理论，这是 bonded knots 的代数对应物。我们定义了{\it bonded braid monoid}，并给出其生成元和关系，提出了针对 bonded braids 的阿尔弗雷德和马尔可夫定理的类比，包括针对 bonded braids 的 $L$ 等价。接着，我们引入\emph{enhanced bonded knots and braids}，其中包含两种类型的键合（吸引型和排斥型），对应不同相互作用。我们定义了增强型 bonded braid group，展示了 bonded braid monoid 如何嵌入该群。最后，我们研究\emph{bonded knotoids}，即带有键合的开放结图，及其闭合运算，并定义了\emph{bonded closure}。我们引入\emph{bonded braidoids}作为 bonded knotoids 的代数对应物。这些模型捕捉了具有链内和链间键合的开放链的拓扑结构，并为分类生物大分子提供了新的不变量。