平均场博弈中的拓扑分岔

平均场博弈（MFG）为大量战略性、非合作智能体的决策提供了一个受统计物理启发的建模框架。在数学上，这些系统由时间上前后向耦合的两个非线性偏微分方程（PDEs）组成，即分别控制智能体状态和控制分布的 Fokker-Planck 方程和 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程。在本工作中，我们使用降阶模型（ROM）研究了一个具有丰富全局分岔结构的有限时间 MFG。该 ROM 是一个 4D 两点边值问题，通过将受控动力学限制在智能体状态分布的前两个矩，即均值和方差来获得。对 ROM 的相空间分析表明，围绕所谓“遍历 MFG 平衡点”的周期轨道的不变流形在决定分岔图中起着至关重要的作用，并赋予各解分支拓扑特征。我们展示了这些结果与全阶 MFG PDE 系统的数值解在定性上的一致性。