有限拓扑秩的 Toeplitz 子偏秩

本文研究了关于有限拓扑秩 Toeplitz 子偏秩的一些基本问题。我们通过结合从 Bratteli--Vershik 表示或从 $\mathcal{S}$-adic 视角对 Toeplitz 性质和有限拓扑秩 $K$ 的特征，定义了强有限拓扑秩 $K$ 的强 Toeplitz 子偏秩的概念。表征问题询问是否对于每一个 $K\geq 2$，每一个拓扑秩为 $K$ 的 Toeplitz 子偏秩都是秩为 $K$ 的强 Toeplitz 子偏秩。我们通过构造一个拓扑秩为 $2$ 却非强 Toeplitz 子偏秩的秩为 $2$ 的 Toeplitz 子偏秩，给出了表征问题的否定答案。然而，我们证明了所有强有限拓扑秩 Toeplitz 子偏秩的集合在所有无限最小子偏秩空间中是通用的。在第二部分我们从描述集合论的角度考虑 Toeplitz 子偏秩秩为 $2$ 的几个分类问题。我们通过表明它们作为等价关系是超有限且非平滑的，完全确定了同构问题、翻转同构问题以及双因子问题的复杂性。我们还考虑所有 Toeplitz 子偏秩的逆问题。我们给出 Toeplitz 子偏秩是否同构于其自身逆的准则，并用它表明所有此类 Toeplitz 子偏秩的集合在所有无限最小子偏秩空间中是稀疏的。最后，我们证明了任意有限拓扑秩 Toeplitz 子偏秩的自同构群同构于 $\mathbb{Z}\oplus C$，其中 $C$ 为某个有限循环群；并且对于每一个非平凡的有限循环群 $C$，都可以实现 $\mathbb{Z}\oplus C$ 作为某个秩大于 $2$ 的强 Toeplitz 子偏秩的自同构群的同构类型。