tmf 不是弦配边环谱的商

本文证明了 $\mathrm{tmf}[1/6]$ 不是 $\mathrm{MO}\langle8\rangle[1/6]$ 的环谱商。事实上，对于任意素数 $p>3$ 和 $\pi_*\mathrm{MO}\langle8\rangle$ 中的任意齐次元素序列 $X$，$\pi_*\mathrm{MO}\langle8\rangle$-模 $$\pi_*\big(\mathrm{MO}\langle8\rangle_{(p)}/X\big)$$ 甚至抽象地也不同构于 $\pi_*\mathrm{tmf}_{(p)}$。证明方法是指出，对于任意交换环谱 $R$ 和 $\pi_*(R)$ 中的任意齐次元素序列 $X$，存在分次 $\mathbf{Q}$-向量空间的同构 $$\pi_*(R/X)\otimes\mathbf{Q} \cong \mathrm{H}_*(\mathrm{Tot}(\mathrm{K}(X)))\otimes\mathbf{Q},$$ 其中右侧是 $X$ 的（全）Koszul 复形的有理同调，除非 $X$ 是 $\pi_*(R)\otimes\mathbf{Q}$-拟正则序列，否则其严格大于 $\pi_*(R)/(X)\otimes\mathbf{Q}$。该结论随后由以下事实得出：$p$-局部 Witten 亏格的核不能由 $\pi_*\mathrm{MO}\langle8\rangle\otimes\mathbf{Q}$-拟正则序列生成。