矩阵奇点的 Tjurina 数与 Milnor 数

为了理解由矩阵形变所产生的行列式与 Pfaff 式的形变，我们研究复合映射 $f\circ F$ 的形变理论，其中 $f:Y\to\C$ 具有 Cohen-Macaulay 奇点轨迹且 $F:X\to Y$，并带有孤立奇点。我们将相应的 $T^1(F)$ 识别为（类似于）某个导出函子的上同调，并构造一条典范长正合列，由此可得 $$\tau=\mu(f\circ F)-\beta_0+\beta_1,$$ 其中 $\tau$ 是 $T^1(F)$ 的长度，$\beta_i$ 是 $Tor_i(\O_Y/J_f,\O_X)$ 的长度。这解释了 Bruce、Tari、Goryunov、Zakalyukin 与 Haslinger 所列简单矩阵奇点表中观察到的数值巧合。