关于 Colin de Verdière 谱图参数的三点观察

在这篇简短的文章中，我们收集了关于 Y. Colin de Verdière 于 1990 年引入的著名谱图参数 $\mu$ 的几点观察。该参数被定义为某些类似于加权拉普拉斯矩阵（我们称之为 CdV 矩阵）的最大余秩。首先，我们否定了 van der Holst、Lovász 和 Schrijver 在 1996 年关于 $\mu$ 的有影响力综述中附带提出的一个关于 CdV 矩阵 Perron–Frobenius 特征向量的问题。其次，根据定义，CdV 矩阵具有某种横截性。在某些情况下，已知该性质会自动满足。我们向该列表中添加了一个此类情况。第三，Y. Colin de Verdière 猜想对于可嵌入固定闭曲面的图，$\mu(G)$ 存在一个上界。继 Fortier Bourque、Gruda-Mediavilla、Petri 和 Pineault [arXiv:2312.03504] 最近通过计算机验证的该猜想连续版本的反例之后，我们也使用计算机验证了类似的例子表明，对于可嵌入 10-环面以及其他几个更大曲面的图，所猜想的 $\mu(G)$ 上界不成立。