偶映射、Colin de Verdière 数与图的表示

Van der Holst 与 Pendavingh 引入了一个图参数 $\sigma$，它在小取值时与更著名的 Colin de Verdi\`{e}re 图参数 $\mu$ 一致。然而，$\sigma$ 的定义更具几何/拓扑性，直接反映了图的可嵌入性质。他们证明了 $\mu(G) \leq \sigma(G) + 2$，并猜想对任意图 $G$ 有 $\mu(G) \leq \sigma(G)$。我们证实了这一猜想。据我们所知，这是关于 $\mu(G)$ 的第一个拓扑上界，且在一般意义下是紧的。$\mu$ 与 $\sigma$ 的等式并不普遍成立，因为 van der Holst 与 Pendavingh 已证明存在一个图 $G$ 满足 $\mu(G) \leq 18$ 且 $\sigma(G)\geq 20$。我们表明该间隙出现在小得多的值上，即我们给出一个图 $H$ 使得 $\mu(H)\leq 7$ 且 $\sigma(H)\geq 8$。我们还证明，一般而言该间隙可以很大：阶为 $q$ 的有限射影平面的关联图 $H_q$ 满足 $\mu(H_q) \in O(q^{3/2})$ 且 $\sigma(H_q) \geq q^2$。