稀疏超滤子、P-层级与Martin公理

在 MA（Martin公理）下，我们证明对于 $\omega$ 上的稀疏集合的理想 $\cal I$ 以及任意序数 $\gamma \leq \omega_1$，存在一个 ${\cal I}$-超滤子（按 Baumgartner 的意义），它属于超滤子 P-层级的 ${\cal P}_{\gamma}$ 类。由于 ${\cal P}_2$ 超滤子类与 P-点类重合，我们的结果推广了 Fla\v{s}kov\'a 的定理，该定理指出存在不是 P-点的 ${\cal I}$-超滤子。这也与另一个定理相关，该定理指出在 CH 下对于 $\omega$ 上的任意高大 P-理想 $\cal I$ 存在一个 ${\cal I}$-超滤子，然而稀疏集合的理想并非 P-理想。