论一阶模型的超滤扩张与超滤解释

已知存在两种典型的一阶模型超滤扩张：一种源于模态逻辑与泛代数，另一种源于模型论与超滤代数，并以半群超滤扩张为主要先驱。根据一般拓扑学的一个经典事实，离散空间上的超滤空间即其最大紧化；超滤扩张将这一事实推广到赋予任意一阶结构的离散空间。此类结果被称为扩张定理。我们基于将扩张过程本身予以推广的思想，对两类扩张给出统一处理。随后，我们提出标准一阶解释概念的推广，其中函数符号与关系符号由函数集与关系集上的超滤而非函数与关系自身来解释，并定义具有相应语义的超滤模型。我们建立了超滤模型与某些普通模型的典型超滤扩张重合的充要条件，并给出其拓扑刻画。进一步，我们甚至提出基于超滤极限的更宽泛的超滤模型及其语义概念，并表明新概念吸收了前一种概念以及普通一阶模型概念。我们建立了宽泛意义下超滤模型与前一种意义下超滤模型或与某些普通模型超滤扩张重合的充要条件。最后，我们证明了超滤模型的扩张定理。