双曲径向生成树在无穷远处的稠密迹
概率论
2023-01-10 v1
摘要
自 Howard 与 Newman (2001) 的工作以来，已知在直径向有根树中，以概率 1，所有无穷路径均有渐近方向，且每个渐近方向均被（至少）一条无穷路径到达。此外，存在一组被（至少）两条无穷路径到达的“例外”方向，该集合是随机的、稠密的，且在二维中仅为可数集。Howard 与 Newman 的方法对由多于两条无穷路径到达的（随机）方向毫无说明，尤其未涉及在二维中是否存在此类“非常例外”方向。本文证明了对双曲径向生成树（RST）答案是否定的：在二维中，该树以概率 1 不包含三条具有相同（随机）渐近方向的无穷路径。换言之，双曲 RST 中不存在无穷但稀疏的子树，即其所有无穷路径均具有相同渐近方向的子树。我们实际上在维数 （）中证明了更强的结果：双曲 RST 的任意无穷子树均以概率 1 在无穷远处生成稠密迹，即由其无穷路径到达的渐近方向集合具有正测度。
引用
@article{arxiv.2301.02717,
title = {Thick trace at infinity for the Hyperbolic Radial Spanning Tree},
author = {David Coupier and Lucas Flammant and Viet Chi Tran},
journal= {arXiv preprint arXiv:2301.02717},
year = {2023}
}