几何随机树中半无限分支数量的次线性性

本文探讨以下问题：对于 $\R^{2}$ 中的几何随机树，有多少半无限分支穿过以原点为中心且半径 $r$ 很大的圆 $\CC_{r}$？我们开发了一种方法，确保这些半无限分支的数量 $\chi_{r}$ 的期望值为 $o(r)$。该结果源于这样一个事实：在远离原点处，树的分布接近于缺乏双向无限路径的适当有向森林的分布。为了说明该方法的鲁棒性，我们将其应用于三种不同的模型：径向泊松树 (RPT)、欧几里得首达渗流 (FPP) 树和有向末达渗流 (LPP) 树。此外，利用对有向森林（近似 RPT）的合并时间估计，我们证明了对于 RPT，几乎必然地且在期望意义上，对于任意 $0<\eta<1/4$，$\chi_{r}$ 均为 $o(r^{1-\eta})$。