量子信道的热力学形式：熵、压、Gibbs 信道与泛型性质

记 $M_k$ 为复 $k$ 乘 $k$ 矩阵的集合。我们将在此分析如下类型的量子信道 $\phi_L$：给定可测函数 $L:M_k\to M_k$ 及 $M_k$ 上的测度 $\mu$，我们通过表达式 $\rho \,\to\,\phi_L(\rho) = \int_{M_k} L(v) \rho {L(v)}^\dagger \, \dm(v)$ 定义线性算子 $\phi_L:M_k \to M_k$。T. Benoist、M. Fraas、Y. Pautrat 和 C. Pellegrini 近期的一篇论文是我们的出发点。他们考虑了 $L$ 为单位映射的情形。在对量子信道 $\phi_L$ 的一些温和假设下，我们分析 $\phi_L$ 的特征值性质并定义此类信道的熵。对固定的 $\mu$（先验测度）和给定的哈密顿量 $H: M_k \to M_k$，我们给出 Ruelle 定理的一个版本：与 Ruelle 算子的特征值问题相关的压的变分原理（关联于此类 $H$）。我们引入 Gibbs 信道的概念。我们还证明，对固定的 $\mu$（其支撑包含多于一个点），使得其对 $\mu$ 为 $\phi$-Erg（亦即可约的）的 $L$ 之集合是一个泛型集。我们描述一个相关过程 $X_n$，$n\in \mathbb{N}$，取值于射影空间 $P(\C^k)$ 并分析不变概率的存在性问题。我们还考虑一个相伴过程 $\rho_n$，$n\in \mathbb{N}$，取值于 $\mathcal{D}_k$（$\mathcal{D}_k$ 为密度算符的集合）。通过重心我们将上述不变概率与对 $\phi_L$ 固定的密度算符相关联。