连续时间量子马尔可夫半群的热力学形式化：细致平衡条件、熵、压力与平衡量子过程

$M_n(\mathbb{C})$ 表示 $n \times n$ 复矩阵的集合。考虑连续时间量子半群 $\mathcal{P}_t= e^{t\, \mathcal{L}}$，$t \geq 0$，其中 $\mathcal{L}:M_n(\mathbb{C}) \to M_n(\mathbb{C})$ 是无穷小生成元。若假设 $\mathcal{L}(I)=0$，我们称 $e^{t\, \mathcal{L}}$，$t \geq 0$ 为量子马尔可夫半群。给定量子马尔可夫半群 $\mathcal{P}_t$，$t \geq 0$ 的一个平稳密度矩阵 $\rho= \rho_{\mathcal{L}}$，我们可以定义一个连续时间平稳量子马尔可夫过程，记为 $X_t$，$t \geq 0$。给定一个先验的拉普拉斯算子 $\mathcal{L}_0:M_n(\mathbb{C}) \to M_n(\mathbb{C})$，我们将为 $M_n(\mathbb{C})$ 上的一类密度矩阵提出一个自然的熵概念。给定一个厄米算子 $A:\mathbb{C}^n\to \mathbb{C}^n$（扮演哈密顿量的角色），我们将研究 $A$ 的一个变分原理版本以确定压力。使压力最大化的密度矩阵 $\rho_A$ 将被称为平衡密度矩阵。从 $\rho_A$ 出发，我们将导出一个新的无穷小生成元 $\mathcal{L}_A$。最后，由半群 $\mathcal{P}_t= e^{t\, \mathcal{L}_A}$，$t \geq 0$ 和初始平稳密度矩阵所定义的连续时间量子马尔可夫过程，将被称为哈密顿量 $A$ 的连续时间平衡量子马尔可夫过程。它对应于哈密顿量 $A$ 作用下的量子热力学平衡。