量子 LDPC 码上 (上)同调不变量的理论
量子物理
2026-03-30 v1 信息论
数学物理
math.IT
math.MP
摘要
随着构造良好 qLDPC 码和近似良好 qLTCs 的突破性进展，研究量子码复形的 (上)同调不变量——其逻辑运算的根本基础——已变得显然重要。在这项工作中，我们通过综合先进的数学工具，建立了一个系统框架，用于在广泛的构造中数学分析这些不变量，从 HGP 码到层码。我们将规范逻辑代表的概念从 HGP 码推广到层码设置，解决了显式刻画层码字的一个长期挑战。在此基础上，我们首次在层码的复杂框架中完整计算了杯积。给定广义黎曼假设下成立的 Artin 原根猜想，我们证明几乎好的 qLDPC 码和长度为 N 的 qLTCs 上可以支持 Θ̃(N) 个独立的杯积，为实现线性数量的并行、非平凡、常深度多控制-Z 门开辟了可能性。此外，通过将层码解释为通过图提升对 HGP 码的覆盖空间，我们提出了一种方案，从一个常数大小的 HGP 码以交错方式归纳地生成 HGP 码和层码的族。值得注意的是，该归纳保持了初始码的所有 (上)同调不变量。这提供了一个将不变量或逻辑门从小码提升到无限码族的通用框架，并通过检查小实例实现了对这些特征的高效验证。我们的理论为研究 HGP 码中的不变量提供了实质性的方法论，并将其扩展到层码。在此过程中，我们揭示了 qLDPC 码与数学之间的深层且意想不到的联系，从而为量子编码、容错和物理学的未来进展奠定了基础。
引用
@article{arxiv.2603.25831,
title = {Theory of (Co)homological Invariants on Quantum LDPC Codes},
author = {Zimu Li and Yuguo Shao and Fuchuan Wei and Yiming Li and Zi-Wen Liu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2603.25831},
year = {2026}
}