杯和门 I：Cohomology 不变量与逻辑量子操作

我们为构造一般量子 CSS 码中的逻辑门提供了初步框架。将 CSS 码视为复链复合体，我们注意到 Cohomology 不变量自然地产生对角逻辑门。我们展示，如果量子码具有放宽 certain CSS 码性质的结构，便存在此类不变量。我们展示了通过在 CSS 码上定义 cup 积来赋予量子码此类结构的方法。由此方法获得的逻辑门可由常数深度的单位电路实现。特别是，我们构造了一个 $\Lambda$-倍 cup 积，可在 $\Lambda$ 复制同一量子码的第 $\Lambda$ 层生成逻辑算子，我们将其称为 copy-cup 门。对于任意所需的 $\Lambda$，我们可以构造几组支持处于第 $\Lambda$ 层（各种渐近码参数）逻辑门的量子码。