ZX&-演算：使用蜘蛛算子的经典电路完全图形演算

我们给出ZX&-演算（ZX&）片段的一个完全表示，该片段由Z和X蜘蛛算子（分别对应复制与加法）连同非门和与门生成。为证明完全性，我们向由Toffoli门与辅助比特生成的范畴TOF自由添加一个单位与余单位，表明这给出了以2的幂为对象的有限序数与前映射范畴的满子范畴；并在该范畴与ZX&之间进行双向翻译。翻译到TOF的某种扩展而非ZX-演算的某片段，是因Toffoli门的乘积性质而作出的自然选择。为此，我们证明向离散逆范畴的半Frobenius代数自由添加余单位等同于构造笛卡尔完备化。特别地，对离散逆范畴（经典信道范畴）而言，笛卡尔完备化与添加余单位均产生同一范畴。因此，将这些构造应用于TOF产生以2的幂为对象的有限序数与偏映射的满子范畴。通过粘合自由余单位完备化与自由单位完备化，这给出了“量子比特多关系”。